Lygtis - kas tai yra? Sąvokos apibrėžimas, pavyzdžiai

Mokyklos matematikos metu vaikas pirmą kartą išklauso terminą "lygtis". Ką tai padarysime, pabandykime suprasti tai kartu. Šiame straipsnyje aptarsime sprendimo būdus ir būdus.

Matematika. Lygtys

Pirmiausia, siūlome spręsti savekoncepcija, kas tai yra? Kaip sakoma daugelyje matematikos vadovėlių, lygtis yra keletas išraiškų, tarp kurių būtinai yra lygi ženklas. Šiose išraiškose yra raidės, vadinamosios kintamieji, kurių reikšmė turi būti nustatyta.

Kas yra kintamasis? Tai yra sistemos, kuri pakeičia jos reikšmę, atributas. Aiškus kintamųjų pavyzdys yra:

• oro temperatūra;
• vaiko augimas;
• svoris ir pan.

Matematikoje jie žymimi raidėmis, pavyzdžiui,x, a, b, c ... Paprastai matematinis darbas skamba taip: rasti lygties vertę. Tai reiškia, kad jums reikia rasti šių kintamųjų vertę.

Veislės

Lygtis (tai, ką mes išardome ankstesnėje pastraipoje) gali būti tokios formos:

• linijinis;
• kvadratas;
• kubiniai;
• algebrinė;
• transcendentinis.

Norėdami išsamiau susipažinti su visomis rūšimis, mes apsvarstyti kiekvieną atskirai.

Linijinė lygtis

Tai pirmoji rūšis, kurią mokiniai žino. Jie sprendžiami gana greitai ir paprastai. Taigi, linijinė lygtis, kas tai yra? Tai yra formos išraiška: ax = c. Taigi tai nėra ypač aišku, todėl pateiksime keletą pavyzdžių: 2х = 26; 5x = 40; 1,2x = 6.

Išnagrinėkime lygčių pavyzdžius. Tam mums reikia surinkti visus žinomus duomenis iš vienos pusės, o kitose nežinomose - x = 26/2; x = 40/5; x = 6 / 1.2. Čia mes naudojome elementarias matematikos taisykles: a * c = e, iš šios c = e / a; a = e / c. Norint užbaigti lygties sprendimo, atliekame vieną veiksmą (mūsų atveju - padalijimas) x = 13; x = 8; x = 5. Tai buvo dauginimo pavyzdžiai, dabar ieškokite atimties ir papildymo: x + 3 = 9; 10x-5 = 15. Perduodame žinomus duomenis į vieną pusę: x = 9-3; x = 20/10. Atliekame paskutinį veiksmą: x = 6; x = 2.

Taip pat galimi linijinių lygčių variantai, kurnaudojamas daugiau nei vienas kintamasis: 2х-2у = 4. Siekiant išspręsti, būtina pridėti kiekviena dalis 2Y, mes gauname 2x-2y + 2y = 4-2u, kaip matėme, kairėje pusėje lygybės ženklą ir -2u + 2y sumažintas, todėl mes liko: 2x = 4 -2y. Paskutinis žingsnis padalija kiekvieną dalį į dvi, mes gauname atsakymą: X yra lygus dviem, atėmus žaidimą.

Problemos su lygtimis susiduria net irAhmedo papirusas. Štai viena iš problemų: skaičių ir ketvirta dalis suteikia 15 viso Norėdami išspręsti šią problemą, mes rašyti šią lygtį: X plius vieną ketvirtąją X reiškia penkiolika. Mes matome dar vieną linijinės lygties pavyzdį, remiantis sprendimu gauname atsakymą: x = 12. Bet ši problema gali būti išspręsta kitu būdu, būtent Egipto, arba kaip jis vadinamas kitaip, spekuliacijos būdu. Papirusyje naudojamas toks sprendimas: imkite keturias ir ketvirtą jo dalį, ty vieną. Trumpai tariant, jie penki, penkiolika dabar turi būti padalinta iš sumos, kurią mes gauname tris paskutinis veiksmas iš trijų, padaugintą iš keturių. Mes gauname atsakymą: 12. Kodėl sprendime dalijamės penkiolika penkių? Taigi, mes žinome, kiek kartų penkiolika, tai yra rezultatas, kurį turime gauti, mažiau nei penki. Tai buvo būdas išspręsti problemas viduramžiais, jis buvo vadinamas melo metodu.

Kvadrato lygtys

Be anksčiau paminėtų pavyzdžių, yra ir kitų. Kuris iš jų? Kvadratinė lygtis, kas yra? Jie turi formą kirvį²+ bx + c = 0. Norėdami juos išspręsti, turite susipažinti su tam tikromis sąvokomis ir taisyklėmis.

Pirma, mes turime rasti diskriminantą pagal formulę: b²-4ac. Sprendimo rezultatams yra trys variantai:

• diskriminantas yra didesnis už nulį;
• mažiau nei nulis;
• yra lygus nuliui.

Pirmoje versijoje mes galime gauti atsakymą iš dviejų šaknų, kurie pagal formulę: -B + A į Diskriminantas padalinus iš dvigubai pirmą koeficiento šaknies, ty 2a.

Antruoju atveju lygtis neturi šaknų. Trečiu atveju šaknis randamas pagal formulę: -b / 2a.

Kalbėkime apie kvadratinės lygties pavyzdį daugiauišsamus pažintis: trys X lauke, minus keturiolika X, minus penkios, lygus nuliui. Pirmiausia, kaip mes rašėme anksčiau, mes ieškome diskriminuojančio, mūsų atveju jis yra lygus 256. Atkreipkite dėmesį į tai, kad gautas skaičius yra didesnis už nulį, todėl turime gauti atsakymą, kurį sudaro du šaknys. Gautą diskriminaciją mes pakeičia į šaknų nustatymo formulę. Todėl mes turime: X yra lygus penkeriems ir minus trečdaliui.

Ypatingi atvejai kvadratin ÷ se lygtyse

Tai pavyzdžiai, kai kai kurios vertės yra nulis (a, b arba c) ir galbūt kelios.

Pavyzdžiui, paimkime tokią lygtį, kuriyra kvadratas: du kvadratėliai x yra nulis, čia mes matome, kad b ir c yra nulis. Pabandykime ją išspręsti, todėl mes padalome abu lygties elementus į dvi, mes turime: x²= 0 Todėl mes gauname x = 0.

Kitas 16x atvejis²-9 = 0. Čia tik b = 0. Mes sprendžiame lygtį, perkelkite laisvą koeficientą į dešinę pusę: 16x²= 9, dabar mes dalijame kiekvieną dalį į šešiolika: x²= devyni šešiolika. Kadangi mes turime x laukelyje, 9/16 šaknis gali būti neigiamas arba teigiamas. Atsakymas parašomas taip: X lygus plius / minus tris ketvirčius.

Galima atsakyti į variantą, nes šakninės lygties nėra. Pažvelkime į pavyzdį: 5x²+ 80 = 0, čia b = 0. Norėdami išspręsti laisvą terminą, mesti jį į dešinę pusę, po šių veiksmų mes gauname: 5x²= -80, dabar kiekviena dalis suskirstyta į penkias dalis: x²= minus šešiolika. Jei koks nors skaičius yra kvadratas, mes negauname neigiamos vertės. Todėl mūsų atsakymas yra toks: šakninės lygties nėra.

Trinomialio skilimas

Kvandeninių lygčių užduotis taip pat gali skambėti kitu būdu: suskaidyti kvadratinį trinomį į daugiklį. Tai galima padaryti naudojant šią formulę: a (x-x₁) (x-x₂) Dėl to, kaip ir kitame užduoties variante, reikia rasti diskriminuojantįjį.

Apsvarstykite šį pavyzdį: 3x²-14x-5, išskaidykite trinomį į daugintojus. Mes randame diskriminantą, naudodami jau žinomą mums formulę, jis gaunamas lygus 256. Iš karto atkreipiame dėmesį, kad 256 yra didesnis už nulį, taigi lygtis turės du šaknis. Mes randame juos, kaip ir ankstesniame skyriuje, mes turime: x = penkios ir minus trečdalis. Mes naudojame formulę trinomialui išplėsti į daugiklį: 3 (x-5) (x + 1/3). Antrame skiltyje mes gavo lygių ženklų, nes formulėje yra minuso ženklas, o šaknis taip pat yra neigiamas, naudodamasis elementariais matematikos žiniomis, sumoje turime pliuso ženklą. Paprastumo dėlei mes padauginame pirmąją ir trečią lygtis, kad atsikratume frakcijos: (x-5) (x + 1).

Lygtys, kurios sumažina iki kvadratinio

Šioje dalyje išmoksime išspręsti sudėtingesnes lygtis. Pradėkime nuo pavyzdžio:

(x² - 2x)² - 2 (x² - 2x) - 3 = 0. Galime matyti pasikartojančius elementus: (x² - 2x), mums patogu jį pakeistikitą kintamąjį, tada išspręskite įprastą kvadratiną lygtį, mes tuoj pat pažymi, kad šioje užduotyje mes gauname keturias šaknis, tai neturėtų jus išgąsdinti. Mes žymime kintamojo a pasikartojimą. Mes gauname: a²-2a-3 = 0. Mūsų kitas žingsnis yra rasti naujos lygties diskriminuojantįjį. Mes gauname 16, randame du šaknis: minus vienas ir trys. Mes prisimename, kad pakeitėme, pakeičia šias vertybes, galų gale mes turime lygtis: x² - 2x = -1; x² - 2x = 3. Mes juos išspręsime pirmajame atsakyme: x yra lygus vienetui, antrame: x yra lygus minus vienam ir trims. Mes rašome atsakymą taip: plius / minus vienas ir trys. Paprastai atsakymas rašomas didėjančia tvarka.

Kubinės lygtys

Paimkime dar vieną galimą variantą. Mes aptarsime kubines lygtis. Jie turi formą: kirvis ³ + b x ² + cx + d = 0. Pavyzdžiai lygtis, kuriuos mes atsižvelgsime žemiau, bet pradžioje šiek tiek teorijos. Jie gali turėti tris šaknis, nes yra formulė, leidžianti rasti kubinių lygčių diskriminantą.

Apsvarstykite pavyzdį: 3x³+ 4x²+ 2x = 0. Kaip tai išspręsti? Norėdami tai padaryti, mes tiesiog įdėkite x skliaustuose: x (3x²+ 4x + 2) = 0. Viskas, ką turime padaryti, yra apskaičiuoti lygčių šaknis skliausteliuose. Kvadratin ÷ s lygties diskriminavimo skliausteliuose yra mažesn ÷ už nulį, tod ÷ l išraiškai yra šaknis: x = 0.

Algebra. Lygtys

Mes pereisime į kitą formą. Dabar trumpai aptarime algebrines lygtis. Vienas iš užduočių skamba taip: grupuojant metodą į 3x multiplikatorių⁴+ 2x³+ 8x²+ 2x + 5. Patogiausias būdas yra ši grupė: (3x⁴+ 3x²) + (2x³+ 2x) + (5x²+5). Atkreipiame dėmesį, kad Sx² iš pirmosios išraiškos mes pristatėme 3x sumą² ir 5x². Dabar iš kiekvieno laikiklio pašaliname bendrą 3x faktorių²(x2 + 1) + 2x (x²+1) +5 (x²+1). Mes matome, kad mes turime bendrą daugiklį: x plote plius vienas, mes jį pašaliname iš skliausteliuose: (x²+1) (3x²+ 2x + 5). Tolesnis skilimas yra neįmanomas, nes abi lygtis turi neigiamą diskriminantą.

Transcendentinės lygtys

Siūlome spręsti šį klausimą. Tai lygtys, turinčios transcendentines funkcijas, būtent, logaritminės, trigonometrinės arba eksponentinės. Pavyzdžiai: 6sin²x + TGX-1 = 0, x + 5lgx = 3 ir pan. Kaip jie išspręstos, jūs išmoksite iš trigonometrijos eigos.

Funkcija

Paskutinis žingsnis yra apsvarstyti lygties sąvokąfunkcija. Skirtingai nei ankstesnės versijos, šis tipas nėra išspręsta, ir jame yra sudaryta grafika. Tam lygybė yra gerai išnagrinėta, kad būtų surasti visi reikalingi statybos taškai, apskaičiuoti minimalius ir maksimalius taškus.